Читать онлайн работу по дисциплине: Маркетинг

Реферат Метод математической индукции



Текст реферата Метод математической индукции

Страница: 5 из 6

стоящего в скобках, а второе делится по предположению индукции. В силу
метода математической индукции утверждение доказано.
ПРИМЕР 14
Доказать, что если n>2 и х>0, то справедливо неравенство
(1+х) n >1+n ґ х.
Решение: 1) При n=2 неравенство справедливо, так как
(1+х) 2 =1+2х+х 2 >1+2х.
Значит, А(2) истинно.
2) Докажем, что А(k) Ю A(k+1), если k> 2. Предположим, что А(k)
истинно, т.е., что справедливо неравенство
(1+х) k >1+k ґ x. (3)
Докажем, что тогда и А(k+1) истинно, т.е., что справедливо
неравенство
(1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x.
В самом деле, умножив обе части неравенства (3) на положительное
число 1+х, получим
(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x).
Рассмотрим правую часть последнего неравенства; имеем
(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x.
В итоге получаем, что
(1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x.
Итак, А(k) Ю A(k+1). На основании принципа математической индукции
можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого
n> 2.
ПРИМЕР 15
Доказать, что справедливо неравенство
(1+a+a 2 ) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 при а > 0.
Решение: 1) При m=1
(1+а+а 2 ) 1 > 1+а+(2/2) ґ а 2 обе части равны.
2) Предположим, что при m=k
(1+a+a 2 ) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) Докажем, что при m=k+1 неравенство верно
(1+a+a 2 ) k+1 =(1+a+a 2 )(1+a+a 2 ) k >(1+a+a 2 )(1+k ґ a+
+(k(k+1)/2) ґ a 2 )=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +
+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+
+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2 .
Мы доказали справедливость неравенства при m=k+1, следовательно, в
силу метода математической индукции, неравенство справедливо для
любого натурального m.
ПРИМЕР 16
Доказать, что при n>6 справедливо неравенство
3 n >n ґ 2 n+1 .
Решение: Перепишем неравенство в виде
(3/2) n >2n.
1. При n=7 имеем
3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7
неравенство верно.
2. Предположим, что при n=k
(3/2) k >2k.
3) Докажем верность неравенства при n=k+1.
3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k ) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1).
Так как k>7, последнее неравенство очевидно.
В силу метода математической индукции неравенство справедливо для
любого натурального n.
ПРИМЕР 17
Доказать, что при n>2 справедливо неравенство
1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/n 2 )<1,7-(1/n).
Решение: 1) При n=3 неравенство верно
1+(1/2 2 )+(1/3 2 )=245/180<246/180=1,7-(1/3).
2. Предположим, что при n=k
1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/k 2 )=1,7-(1/k).
3) Докажем справедливость неравенства при n=k+1
(1+(1/2 2 )+…+(1/k 2 ))+(1/(k+1) 2 )<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2 ).
Докажем, что 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2 )<1,7-(1/k+1) Ы
Ы (1/(k+1) 2 )+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы
Ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k Последнее очевидно, а поэтому
1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/(k+1) 2 )<1,7-(1/k+1).
В силу метода математической индукции неравенство доказано.
Заключение
Вчастности изучив метод математической индукции, я повысил свои
знания в этой области математики, а также научился решать задачи,
которые раньше

Страницы: 0 1 2 3 4 5 6