ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО КРИТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ДЛЯ ДВУДИАПАЗОННОГО ФОТОМЕТРИЧЕСКОГО ПЕРЕСЧЕТА

ИМтПРМйМЫПММП^чПРйРЛчЮШЫЕ ГЫГтЕмИ
УДК 621.383.7: 535.24
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО КРИТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ДЛЯ ДВУДИАПАЗОННОГО ФОТОМЕТРИЧЕСКОГО
В. Е. Саваневич
Доктор технических наук, профессор, профессор кафедры*
Контактный тел.: (057) 702-55-92 Е-mail: domsv1@rambler.ru
-------------- -----------------
Запропонований метод визначення оптимального критичного значення амплітуди для одержання найкращих коефіцієнтів дводіапазонного фотометричного перерахунку. Метод використовується авторами в розробленій системі автоматизованого виявлення нових та відомих астероїдів CoLiTec. Наведені результати практичного застосування даної системи.
Ключові слова: астероїди -оцінка блиску, ПЗС-кадр.
-----------------------------
Предложен метод определения оптимального критического значения амплитуды для получения наилучших коэффициентов двудиапазонного фотометрического пересчета. Метод использован авторами в разработанной системе автоматизированного обнаружения новых и известных астероидов CoLiTec. Приведены результаты практического применения данной системы.
Ключевые слова: астероиды -оценка блеска, ПЗС-кадр.
-----------------------------
The method of determination of optimal critical amplitude’s value for getting the best coefficients of double-band photometric scaling model is developed. The method has used by authors in developed system of automatic online new asteroids detection and known asteroids tracking CoLiTec. The results of method application is presented.
Key words: asteroid -estimation of apparent brightness, CCD-frame. -------------- -----------------
А. М. Кожухов
Инженер станции** Контактный тел.: 067-235-11-78 E-mail: skinny2@rambler.ru
А. Б. Брюховецкий
Инженер станции** Контактный тел.: 099-232-72-71 E-mail: izumsasha@rambler.ru
В. П. Власенко
Инженер группы** Контактный тел.: 050-706-89-51 E-mail: vlasenko.vp@gmail.com
В. Н. Ткачев
Магистр*
Контактный тел.: 097-597-33-12 Е-mail: vitalii@tkachov.com
*Кафедра телекоммуникационные системы национальный университет радиоэлектроники пр. Ленина, 14, г. Харьков, 61166 управления и испытаний космических средств г. Евпатория, АР Крым, 97419
Харьковский **Национальный Центр
1. Введение
При амплитудах отметок меньше критического значения амплитуды Ар однодиапазонный фотометрический пересчет отражает соотношение между амплитудами отметок и оценками видимого блеска данных отметок со значительными, резко возрастающими ошибками. Для проведения наилучшего двудиапазонного фотометрического пересчета [1] по критерию минимума суммы квадратов невязок между каталожной оценкой (каталожным значением) видимого блеска и оценкой (оценочным значением) видимого блеска, полученной в результате двудиапазонного фотометрического пересчета, необходимо определить оптимальное значение Аірі.
2. Анализ литературы
Задача поиска оптимального критического значения амплитуды представляет собой задачу поиска экстремума (в данном случае минимума) целевой функции на заданном интервале. Для решения таких задач обычно применяются методы поиска экстремума с вычислением значения производной функции [2, 3]. Также подобные задачи решаются прямыми методами оптимизации (метод перебора, метод деления пополам, метод золотого сечения и метод Фибоначчи) [3,4], которые производят поиск непосредственно минимума целевой функции. Данные методы различаются между собой алгоритмами разбиения заданного интервала на меньшие для более
3
точного нахождения значения минимума. Например, метод Фибоначчи обеспечивает наилучшую точность определения экстремума при фиксированном количестве вычислений целевой функции, а метод золотого сечения обеспечивает наилучшую точность определения экстремума за минимальное количество вычислений целевой функции.
3. Постановка задачи
Для ранее сформированного набора взаимосоот-ветствующих пар «отметка-звезда каталога» получены коэффициенты однодиапазонного фотометрического пересчета по формулам (5)-(7) работы [1]. Также известны и заданы примерные границы интервала амплитуд ( Айш1, Айш2 ), которым соответствуют значения оценок видимого блеска ( ш'ш1, ш'ш2 ), в пределах которого находится критическое значение оценки видимого блеска (оценка видимого блеска, соответствующая критическому значению амплитуды сигнала). Данный интервал оценок зависит в первую очередь от условий наблюдения, параметров инструмента (размер апертуры и фокусное расстояние) и ПЗС-камеры, а также времени экспозиции при формировании пЗС-кадра. пересчет значений границ диапазона оценок видимого блеска объектов в амплитуды отметок, сформированных сигналами, оценки видимого блеска которых соответствуют границам данного интервала, однозначно производится по формулам (9), (10) работы [1]. При этом вместо значения критической звездной величины т'и в формулу (9) подставляется значение границ интервала. Заданному интервалу оценок видимого блеска соответствует интервал амплитуд сигналов ( Айш1, Айш2 ), границы которого определяются выражениями:
(ти„1 -т0 )/кфр -2,5
(тЫ2-т0 )/кфо
-2,5
^ =(У\са1 ,...^кгм) - совокупность параметров каталожных звезд, отождествленных с отметками на -м кадре;
Yt =(Уи,...,Yt,...,YNt) - совокупность отметок, отождествленных со звездами на -м кадре;
)
(1)
где ш0, кфош1 - параметры однодиапазонного фотометрического пересчета.
Не исключено, что для некоторых серий кадров реальное оптимальное критическое значение амплитуды может находиться за пределами заданного интервала, поэтому целесообразно предусмотреть возможность изменения данных границ при поиске оптимального критического значения амплитуды сигналов Акр.
В качестве критерия оптимальности критического значения амплитуды сигналов Акр используется минимум целевой функции фот,YCat). Данная функция является суммой квадратов невязок между каталожным и оценочным значениями видимого блеска, зависящей от критического значения амплитуды сигналов Акр, совокупности параметров каталожных звезд Ycat и совокупности отметок, сформированных сигналами от данных
4™(А?,,са,,,) = (т'т) - т“)2 ,
(2)
- каталожное значение видимого блеска к -й звезды каталога, отождествленной с I -й отметкой на -м кадре;
ша - амплитуда I -й отметки, на -м кадре, равная оценочному значению видимого блеска, полученному по формуле работы [1] при данном значении А .
4. Цель статьи
Необходимо найти значение критической амплитуды, обеспечивающее минимум целевой функции, определяемой выражением (2).
5. Выбор метода оптимизации
Так как в процессе проведения фотометрического пересчета невозможно экспериментально получить значение производной функции (2), то к ней не применимы методы поиска экстремума с вычислением значения производной функции [2 - 5]. Данная функция в интервале значений амплитуд сигналов, соответствующих ( Айш1, Айш2 ) , является унимодальной. Поэтому для поиска ее минимума можно применить прямые методы оптимизации.
Так как в данном случае определение значения целевой функции связано со значительными вычислительными затратами, для поиска оптимального значения предлагается использовать метод Фибоначчи, который обеспечивает наилучшую точность определения экстремума при фиксированном количестве вычислений целевой функции [3,4].
6. Изменение границ интервала поиска критического значения амплитуды сигнала
В случае неверного задания границ интервала, в котором проводится поиск оптимального критического значения амплитуды сигнала необходимо определить направление смещения границ интервала. Сделать это можно следующим образом. Так как целевая функция фотометрического пересчета (2) является унимодальной, то, в случае неверного задания границ интервала, оптимальное критическое значение амплитуды сигнала в пределах заданного интервала будет соответствовать тому граничному значению амплитуды сигнала, которое находится ближе к оптимальному значению. Поэтому, в случае, если найденное оптимальное критическое значение амплитуды сигнала равно одному из граничных значений, то границы интервала поиска оптимального критического значения амплитуды сигнала смещаются в соответствующем направлении.
где N зв - количество отметок, используемых в МНК-оценке параметров двудиапазонного фотометрического пересчета при данном значении Акр;
7. Применение метода Фибоначчи для поиска оптимального критического значения амплитуды от меток
звезд 1

Параметрами метода являются начальные границы интервала оценок амплитуды отметок ( ЛитЬ,Лат21 ) и количество итераций I , зависящие от условий наблюдения, используемой аппаратуры и используемых алгоритмов определения амплитуды. Границы задаются на основании экспериментальных данных для заданного телескопа с заданной ПЗС-камерой. Границам интервала оценок амплитуды отметок соответствуют границы интервала значений видимого блеска ш'йш1, ш'йш2. Метод определения оптимального критического значения амплитуды отметок состоит в следующем.
1. Проведение однодиапазонного фотометрического пересчета по формулам (5)-(7) работы [1].
2. Расчет начальных границ значений амплитуд отметок по формуле (1). Производится для заданных начальных границ интервала оценок видимого блеска ш'ш1, ш'ш2.
3. Задание начального значения для счетчика количества итераций:
=,.
4. Расчет координат первых точек разбиения интервала, на котором производится поиск оптимального значения критической амплитуды А1кр, А2кр :
9. Проверка принадлежности минимума функции фотометрического пересчета заданному интервалу.
9.1. Если Акр = Айш1, то производится переход на п.
9.2. Иначе на п. 9.3
9.2. Границы интервала поиска оптимального значения критической амплитуды смещаются в сторону больших значений амплитуды:
<m1 =<m1 -0>5,
(miim1-mOt )/кфга 11
AtMt = 10 -2,5 ;
<m2 =m',rn2 -0,5 ,
( ml'im 2-mOt )/kHm1t.
Alim2t = 10
(4)
(5)
после чего производится переход на п. 3.
9.3. Если Акр = Айт2 , то производится переход на п. 9.4. Иначе на п. 10.
9.4. Границы интервала поиска оптимального значения критической амплитуды смещаются в сторону меньших значений амплитуды:
A1Kpt AJim1t +(AJim 2t AJim1t ) ;
F t
A2Kpt = Aiim1t +(Aiim2t Aiim1t ) ,
где Ft,Ft_j,Ft-2 - числа Фибоначчи, вводимые последовательностью F0 =0, F1 =1, F = F .і +F,-2.
5. Определение значения целевой функции (2) для значений амплитуд отметок, соответствующих исходным точкам разбиения интервала:
У1 = f (, Yat , Y); У 2 = f (A2pt, , Yt)
6. Уменьшение значения счетчика количества оставшихся итераций: Т=Т -1.
7. Изменение границ исследуемого интервала.
7.1. Проверка условия У1>У2. Если условие выполняется, то на п. 7.2., иначе - на п.7.4.
7.2. Изменение границ интервала слева.
Alim1t = A1kpt, A1kpt = A2kpt
A2Kpt AJim2t - (A1Kpt - AJim1t ).
7.3. Расчет целевой функции (2) для определенного в п.7.2 значения амплитуды : Уі=У2, У2 =f (А2,р,Ycat,Yt). Переход на п. 8.
7.4. Изменение границ интервала справа (блок 9):
<m1 =<m1 +0,5 ,
(mlim1-mOt )/кфти
Alim2t A2kpt, A2kpt A1kpt;
А1крі = AJim1t +(AJim 2t - А2крі ).
7.5. Расчет целевой функции (2) для нового значения амплитуды Ар : У 2 = У1; У1 =/(Ар,Гсо,=г,).
8. Проверка условия окончания вычислений ( =1 ). Если условие выполняется, то Акр = Ар = А2кр - искомое критическое значение, после чего переход на п.9. Иначе -на п. 6.
Ajim1t = 10 -2,5 :
mJim2 =mJim2 +0,5,
(ml'im2-mOt )/kHm1t.
Alim2t = 10
(6)
(7)
после чего производится переход на п. 3.
10. Окончание вычислительного метода. Полученное значение критической амплитуды считается оптимальным, полученные коэффициенты двудиапазонного фотометрического пересчета используются для оценки видимого блеска астероидов.
8. Результаты применения предложенного метода
Экспериментальное сравнение однодиапазонного и двудиапазонного фотометрического пересчета проводилось для кадров, сделанных с экспозицией 30 с в Андру-шевской астрономической обсерватории (ААО) телескопом Zeiss-600 с диаметром зеркала 60 см., оснащенном ПЗС-камерой FLI PL09000 (размер кадра при съемке с одинарным бинированием 1528х1528 пикселей). Результаты эксперимента показаны на Рис. 1, 2. По оси абсцисс отложен десятичный логарифм амплитуды отметки, по оси ординат - оценка видимого блеска в звездных величинах. Точками показаны взаимосоответствующие пары «отметка (амплитуда) - звезда (каталожная оценка видимого блеска)», участвующие в фотометрическом пересчете, сплошной линией - оценка зависимости оценки видимого блеска от десятичного логарифма амплитуды отметки, полученная в результате проведения однодиапазонного фотометрического пересчета, пунктирной линией - аналогичная оценка, полученная в результате проведения двудиапазонного фотометрического пересчета с оптимальным значением Акр. Очевидно, что в области слабых амплитуд (Рис. 2) оценка, полученная в результате двудиапазонного фотометрического пересчета, лучше описывает характер зависимости «амплитуда -
2,5
2,5
3
оценка видимого блеска» взаимосоответствующих пар «отметка - звезда».
Для случая, изображенного на Рис. 1, 2, критическое значение амплитуды составило 432, что соответствовало-оценке видимого блеска объекта 19,6 звездных величин.
Логарифм амплитуды
Рис. 1. Зависимость оценки видимого блеска от амплитуды
21
я и н
^ 20.5
О стЗ
и
о
ч
ю 20
о и
о
я
ч
§ 19.5
стЗ И Я
я
° 19
2 2.2 2.4 2.6 2.8
Логарифм амплитуды
Рис. 2. Зависимость оценки видимого блеска от амплитуды. Область малых амплитуд
Значение целевой функции фотометрического пересчета (2) для однодиапазонного фотометрического пересчета составило 493, а для двудиапазонного фотометрического пересчета при оптимальном значении Акр - 459. Для области амплитуд, меньших, чем Ар (Рис. 2), эти значения составили 110 и 80 соответственно. Таким образом, по критерию минимума суммы квадратов невязок каталожного и оценочного значений видимого блеска выигрыш во всем диапазоне амплитуд от использования двудиапазонного фотометрического пересчета вместо однодиапазонного, составил 7%. При этом выигрыш в области малых амплитуд составил 27 %.
9. Оценка точности фотометрического пересчета по внешним данным
Интерес также представляет сравнение полученных оценок видимого блеска сигнала от астероида с их прогнозными значениями. Результаты такого сравнения для обсерваторий, наблюдающих астероиды, можно получить на сайте динамики астероидов кафедры математики Пизанского университета (Италия) [5]. По этим данным, в результате применения описанного метода СКО оценки видимого блеска уменьшилось с 0,49 звездной величины до 0,31 звездной величины, то есть выигрыш в точности оценки видимого блеска составил до 36 %.
10. Выводы
В статье предложен вычислительный метод определения наилучшего оптимального критического значения амплитуды для получения наилучших коэффициентов двудиапазонного фотометрического пересчета. Метод основан на поиске минимума целевой функции на заданном интервале методом Фибоначчи, который обеспечивает наилучшую точность определения экстремума при фиксированном количестве вычислений целевой функции. В качестве целевой функции принята сумма квадратов невязок между каталожным и оценочным значением видимого блеска звезд, полученным в результате двудиапазонного фотометрического пересчета. Экспериментально подтверждена работоспособность метода, который позволил значительно улучшить точность оценки видимого блеска астероидов, особенно в области слабых амплитуд. Метод использован авторами в разработанной ими системе автоматизированноо обнаружения астероидов CoLiTec.
Литература
1. Саваневич, В. Е. Оценка блеска астероида по амплитуде его сигнала на ПЗС-кадре [Текст] / В. Е. Саваневич, А. М. Кожухов, А. Б. Брюховецкий, В. П. Власенко // Системи управління навігації та зв’язку : Зб. наук. пр. -Київ: ЦНДІ НіУ, 2010. - Вип. 3(15). - С. 46 - 50.
2. Бахвалов, Н. С. Численные методы [Текст] / Н. С. Бахва-
лов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2003. - 632 с.
3. Васильев, Ф. П. Методы оптимизации [Текст] / Ф. П. Ва-
сильев. - М.: «Факториал-Пресс», 2002. - 824 с.
4. Каханер, Д. Численные методы и математическое обеспечение [Текст] / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш : пер. с англ. - М.: Мир, 1998. - 575 с.
5. Asteroids - Dynamic Site [Электронный ресурс]. - Режим доступа : www/ URL: http://hamilton.dm.unipi.it/ astdys/ - 04.04.2011 г. - Загл. с экрана.
Е