МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МАССИВА НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБРАЗЦА ГОРНОЙ ПОРОДЫ

УДК 622:510.67 Л.С. Ксендзенко
МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МАССИВА НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБРАЗЦА ГОРНОЙ ПОРОДЫ
На основе математической модели сильно сжатого образца горной породы определяются параметры математической модели массива горной породы.
Ключевые слова: зона дезинтеграции, гравитационное напряжение, горный массив, трещинный дефект массива.
В
округ выработки на большой глубине в условиях сильного
Е
сжатия
'-СТ* 1
ЧСТс
возникают зоны де-
СТгг (Г) = СТ
( г2\
1 - \
V г у
Е
у2 (1 -V2)
+с • К1(^ г)].
стФФ (г) = ст«
[а • Л(^ г) + Ь • Y1ЦУ• г) +
( ,2\
1 + \
V г У
Е

У2 (1 -V2)
<[а^ ЛЦУ • г)+Ь• Y1(^JУ• г) + с• К1 (ТУ • г)
[а • ^(7У-г) + Ь • Y 0:
зинтеграции. Здесь ст = у • Н , где у — объемный вес пород, Н — глубина заложения выработки, м; стс — предел прочности на одноосное сжатие, МПа. Это явление математически было описано на основе отказа от условия совместности деформаций и привлечения аппарата неравновесной термодинамики [1]. Компоненты напряжений в массиве вокруг горной выработки [2] содержат два слагаемых — классическое и неклассическое:
Ь =
2 • у • (1 -V2)
х^/У • г) - с• К0(7у • г)], (1)
-с(К1(^ г0) • Y 1(77 • Ь1) -
где а =------------------=?-------
Л(^ г0) • Y 1(^-Ь1) -
-Y 1^/у • г0) • К1^уу • Ь1))
^ 1(^ г0) • Л(^ Ь1) ,
-с(Л(^ г0) • К1(^ Ь1) -Л(^ г0) • Y 1^ту • Ь1) -
- К1^уу • г0) • Л(^ Ь1))
-Y 1^/у • г0) • Л(^ Ь1).
Классическое слагаемое зависит от гравитационного напряжения ст^, радиуса выработки г0 и от расстояния от центра выработки до точки в массиве. Неклассический вклад содержит функции Бесселя, Неймана и Макдональда нулевого и первого порядков, которые зависят от двух параметров с и у . Амплитудный параметр с в выражения для компонент напряжений входит линейно, а у входит нелинейно в аргументы указанных функций и отвечает за их период. Параметры с и у математиче-
х
1
х
3
ской модели массива определяются на основе экспериментов с образцами горной породы. Здесь E — коэффициент Пуассона, V — модуль Юнга.
С физической точки зрения процессы, происходящие в массиве на большой глубине и в образце в условиях сильного сжатия, протекают одинаково, и материал в результате перераспределения напряжений при-обретает диссипативную периодическую мезотрещинную структуру. Предполагаем, что физический механизм образования трещин в массиве и образце одинаков. Трещина возникает в направлении максимального сжатия, т.е. в направлении главных максимальных напряжений. Механизм образования трещин вокруг выработки на большой глубине и в сильно сжатом образце носит сдвиго-отрывной характер [3]. Поэтому в математических моделях массива и образца горной породы используется критерий сдвига — отрывного разрушения при сжатии В.Н. Одинцева [4], который имеет вид:
К1 = л/й/ (у1 ст0 -узст00),
где I — полудлина трещинных дефектов массива (минимальная полудлина неустойчивой макротрещины отрыва,
0
м); ст1 - максимальное главное
напряжение, МПа; ст3 - минимальное главное напряжение, МПа; у1, у3 -эмпирические коэффициенты; К1 -
коэффициент интенсивности
напряжений,
I I а • I 2
К1С -
трещиностойкость горной породы,
1
11 а • 12к
При < 1 разрушения вокруг гор-
К1С
к ,
ной выработки нет; при —— > 1 начина-
К,п
ется образование трещин вокруг горной выработки.
Из экспериментов с образцами следует [5], что существует критическая нагрузка Р, разделяющая физически различные стадии поведения образца. Если Р < Р, то напряженно-деформированное состояние образца не зависит от угла (рис. 1); если Р> Р, то деформационные характеристики начинают зависеть от угла.
Рассмотрим функцию критерия в образце, когда Р < Р. В этом случае
К, =4^1 (у^-узстфф), стфф= 0, ^ = Р. Отсюда классическое значение критерия К<^еапп' = ^л1у1 ст^ . Рассмотрим
функцию критерия в образце, когда Р > Р. Запишем функцию критерия с учетом классического нагрузочного напряжения и напряжения, порожденного влиянием дефектов [6]:
К1 (Ф) = >/^1 ^ -— К» + 'СТ*)), (2)
у1
где — = 08 , у1 = °>25, стфф= 0, ст* = Р,
{[(Е?)| „ +
у1
^ = Ц
+ (+ Е2) =, + 4

Е
cos4 »• cos уz +
(Е2-)| , • сш2ф-(()
Z 2
+ Е ) Л +
2=—
2
cos2 уz\• 10
2
+
3
Рис. 1. Кривые деформаций в образце 1 — при
P< Р; 2 — P > Р
лфф
4( еф+ЕФ' )| „о 8р
cos4ф • cos у7 +
(Е' + Е2') П + 4
V фф фф /\2=п е
2 Е
(Е2' - ЕФ1 ') П • cos2ф - ((Е1 ' + Е2’)
V фф фф/\7=Ь л фф фф/
-2у^р' • cos4ф
cos2 у7^ 10
растяжение ' ст, МПа сжатие
__ У “ Ч* А
\ - 95 \
\\
\\ //
//
\\ //
\\ //
\\ //
\ //
схема нагружения образца
І І I
І І І
Рис. 2. Кривые деформаций. Схема нагружения образца
+
П
г
2
2
3
Рис. 3. График функции критерия в массиве
Здесь EZZ), Ефф, г = 1,2 — приращения
продольных и поперечных деформаций на боковой поверхности образца,
E
, SP — приращение нагруз-
ц =
2(1 +v)
ки при переходе от до критической нагрузки P к критической Р: 8Р = Р - Р.
В точке А функция критерия достигает максимального значения и в ней прорастает трещина в образце. Аналогично в массиве. Точка А находится посередине первой зоны разрушения и является точкой максимума функции критерия в массиве. Дуге СД на образце соответствует зона реверса деформаций, а в массиве зоне реверса деформаций соответствует промежуточная зона. Причем точка В в массиве (на графике критериальной функции) расположена посередине промежуточной зоны и является точкой минимума функции критерия в массиве.
На рис. 3 видно, что точка А расположена посередине первой зоны разрушения, а точка В — посередине промежуточной зоны.
1. Гузев М.А., Парошин А.А. Неевклидовая модель зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок// ПМТФ, 2000. — №3. — С.181—195.
2. Макаров В.В., КсендзенкоЛ.С., Кива М.Н., Сапелкина В.М. Зональное разрушение массива и осцилляционный характер напряжений вокруг пройденных в сильно сжатых породах выработках. Известия ТулГУ, серия «Геомеханика. Механика подземных сооружений». — Вып. 2. — Тула: изд-во ТулГУ, 2004. — С. 193—198.
3. Макаров В.В., Гузев М.А. Механизм зонального разрушения и деформирования горных пород вокруг подземных выработок, «Г ео-
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ --------------
Функция критерия в массиве имеет вид:
К1(г) =ЛЛ (у1 • стфф (г) - у3 • стгг (г)) , где
стфф и стгг определяются по формуле (1).
Параметр с будем находить при известном у , полученном из эмпирической формулы, на основе данных Норильска, Донбасса и шахты им. Артема (Приморский край) из уравнений: первое — функция критерия в массиве в точке А равна функции критерия в образце в точке А т.е.,
К1(г)1 = К1(ф)| п, (3)
' '\г=3;о 1ф=0 ’ 4 '
второе — функция критерия в массиве в точке В равна функции критерия в образце в точке В:
К1(г)| 2 = К1(ф) *. (4)
у 71г=2^гО 'т/|ф=_ 4 '
2
Решив уравнения (3), (4) находим искомый параметр с математической модели массива горной породы.
------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
динамика и напр. сост. недр Земли». — Новосибирск: ИГД СО РАН, 1999. — С. 120—125.
4. Одинцев В.Н. Отрывное разрушение массива скальных горных пород. — М.: ИПКОН РАН, 1996. — 166 с.
5. Гузев М.А., Макаров В.В., Ушаков А.А. Моделирование упругого поведения сжатых горных образцов в предразрушающей области.//ФТПРПИ. —№6. — 2006. — С. 3—13.
6. КсендзенкоЛ.С., ГнитиенкоВ.В., Опана-сюк А.А. Напряженно-деформированное состояние сильно сжатого образца горных пород. Материалы Ш межд. научно-практической конф. «Наука и инновации —2007», 16—31 окт. 2007. — Т. 10. — С. 79—81, София, 2007.
Ксендзенко Л.С. — кандидат физико-механических наук, доцент кафедры «Высшей математики» ДВГТУ, докторант кафедры «Комплексного освоения георесурсов», e-mail: ksendzenko@yahoo.com.