КВАНТОВАНИЕ МАССИВНЫХ 2И 3-ФОРМ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ

ФИЗИКА
УДК 530. 12
Е. Н. Кириллова
КВАНТОВАНИЕ МАССИВНЫХ 2- И 3-ФОРМ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Рассматриваются модели массивных антисимметричных тензорных полей второго и третьего рангов (массивных 2- и 3-форм) в произвольном четырехмерном искривленном пространстве-времени. Производится квантование этих моделей на языке р-форм и оценивается эффективное действие. Калибровочная инвариантность в массивной теории восстанавливается с помощью многоступенчатой процедуры Штюкельберга. Результат записан в терминах Даламбертианов, действующих на р-формы.
Ключевые слова: квантовые поля в искривленном пространстве-времени, антисимметричные тензорные поля, калибровочные полевые теории, эффективное действие.
1. Введение
Полностью антисимметричные тензорные поля (р-формы) имеют широкий спектр применимости. В частности, они появляются в моделях суперсимметрии и супергравитации, в струнных теориях, используются в квантовой хромодинамике, в моделях кваркового конфайнмента, в решеточных полевых теориях и космологии. Ссылки на соответствующие работы с кратким обзором истории интереса к антисимметричным тензорным полям (АТП) приведены в статье [1].
Различные аспекты массивных антисимметричных тензорных полевых моделей рассматривались в [2-6]. Такие модели, в отличие от безмассовых, не обладают калибровочной инвариантностью, что ведет к трудностям в расчетах эффективного действия. Для того чтобы упростить вычисление эффективного действия в массивных теориях, удобно переформулировать их как калибровочные теории, после чего можно применять к ним методы квантования калибровочных теорий.
В работе [1] построено эффективное действие для массивных АТП-моделей в произвольном четырехмерном искривленном пространстве-времени. Эффективное действие записано в терминах Даламбертианов, действующих на скалярные, векторные, антисимметричные тензорные поля второго и третьего рангов. Полученный результат использован в работе [6] для изучения проблемы квантовой эквивалентности классически эквивалентных теорий.
Целью настоящей статьи является построение схемы квантования массивных АТП-моделей в произвольном четырехмерном искривленном пространстве-времени на языке р-форм, что упрощает расчеты и позволяет достичь единообразия вычислений независимо от ранга поля.
Квантование безмассовых тензорных полей, или р-форм, в произвольном четырехмерном искрив-
ленном пространстве проводилось в работе [7]. Массивный случай является более запутанным, поскольку для восстановления калибровочной инвариантности теории требуются дополнительные поля (поля Штюкельберга). Так же как и для без-массовых р-форм, используемая для квантования в массивном случае процедура Фаддеева-Попова является многоступенчатой. Однако в массивной теории на каждом этапе появляются не одно, а два вспомогательных взаимосвязанных поля, что усложняет процедуру
Статья организована следующим образом. В гл. 2 приводятся необходимые сведения из теории форм и единым образом описываются массивные АТП-модели второго и третьего рангов. В гл. 3 производится квантование этих моделей на языке р-форм и оценивается эффективное действие. В заключении подведены основные итоги.
2. Модель
(р)
Рассмотрим р-форму В (нас будут интересовать
(2) (3)
формы В и В , так как в четырехмерном про-
странстве-времени р<4):
(р) 1 ^
В =— V В (х) йхЛ А... А йхМр, (1)
р I « . . ..«р 4 ' ’ 4 '
" • «... Vр
внешняя производная которой имеет вид
(р) 1
йВ =------------ V (йВ) н ^(х) йх^ а ... а йх^*1 (2)
(р +1)!
«... мр+1
(р+1)
и определяет напряженность поля :
(р+1) (р)
= йВ с компонентами
(р+1) (р)
«..«р+1 =(йВ .)*.«„, =
=|;(-1гХв . = (р+ш-1)"^..«,«„г(4)
У=1 ц,...«у...«р+1
Ко-производная 3, метрически сопряженный производной оператор, имеет компоненты
(ЗВ) = - В (5)
V '«.«,-1 «...«,-!
Комбинируя й и 3, получаем оператор Лапласа
Д:
Д = d3 + 3d (6)
со свойствами
(ДА, В) = (А, ДВ) = (йА, йВ) + (ЗА, 3В), который действует на компоненты форм следующим образом:
ДВ =-У'УВ + УЯГ В -
«...« V ^...«р —I «г «...«-1«г+1...«р
г=1
р р
Еу о» р о (7)
«г « «...н,-1у«г+1...«-1р«+1...«р’ К1/
г=1 ^=1, ^ Ф р
т. е. результат применения Д (7) к формам отличается по знаку от действия Даламбертиана:
р = - Д = - d3 - Зd. (8)
Наконец, определим внутреннее произведение
(р) (р) форм А, В:
и
(3)
(р)(р) 1 . ,-----
(л, 5 ) = Jd4xV-g(X)^5
p !
^i...^p
(2) i (2) (2)
[ B ] = -- (dB, dB) =
= - 2^J d 4 XV- g( x)FvF
UVA
1 (3) (3)
Scl [ B ] = -- (dB, dB) =
= - 2~~4! J d4 ^V-gX)^F uvA^ +
да
(9)
(10)
Теперь, обобщая действие Максвелла на
р-формы, можно записать классическое действие
для безмассовых р-форм [5]:
(р) i (р+1) (p+i) i (p) (р)
Scl[B] = --{ F , F ) = --{dB,dB) =
= -Др+ЦЇ ' d 4 X'FtiFU’..up+1F U'.Up“-
( p +1)
где F дается формулами (2)-(4). Действие (10) инвариантно относительно преобразований
(р) (р) (р ) (р-1) 2
B ^ B' = B - d , поскольку d = 0.
Добавим в действие (10) массовый член
, (р) 1 (p) (р) да2 (p) (р)
Scl [ B ] = --{dB, dB) + — ( B, B ). (11)
В компонентах это выражение выглядит таким образом [1, 6]:
да
2^2Ї
J d4xV-g(X)BuvBuv
(12)
+_Jd^^4-g(x)B^, (13)
Ffiv = VMBvA + VvBAM + VABMv ,
F , =VB, -V BP + V.B -V B ,.
UvAp u vAp v Apu A pV p uvA
Калибровочная инвариантность действия (11) нарушается присутствием массового члена. Она может быть восстановлена с помощью полей Штюкельберга. Эта процедура в компонентах рассматривалась, например, в работе [5], а также в [1, 6] как раз для действия (12) и (13).
Модифицируем действие (11), введя в него
производную вспомогательной произвольной
(p-1)
формы C , при этом кинетическое слагаемое не изменится благодаря тому, что d2 = 0:
(p) (p-1) (p) i (p-1)
Scl [ B, C ] = Scl [ B + — d C ] = m
1 (p) (p) m2 (p) 1 (p-1) (p) 1 (p-1)
= — (dB, dB) + — (B +—d C , B + — d C ). (14)
2 2 m m
Заметим, что действие (14) инвариантно отно-
(p)
сительно совместных преобразований форм B и
(p-1)
C:
(p) (p) (p) (p-1)
B ^ B' = B - d ,
(p-1) (p-1) (p-1) (p-1)
C ^ C' = C + m ,p = 2,3 (15)
и относительно преобразований полей Штюкель-берга
(p) (p) (p) (p-1) (p-1) (p-1) (p-2)
B ^ B' = B, C ^ C = C - d Л . (16)
(p-2)
Если p - 2 > 0, то и параметр Л инвариантен относительно преобразований
(p-2) (p-2) (p-2) (p-3)
Л^Л ' = Л + d д (17)
и т. д.
Перейдем к квантованию теории (14).
3. Квантование ma^m^ra р-форм в четырехмерном искривленном пространстве
Построим формальный функциональный интег-
(p) (p-1)
рал по полям B, C , соответствующий классическому действию (14):
(p) (p-1) , (p) (p-1) (p) (p-1)
I[B, C ] = jDB DC exp(iS[B, C ]). (18)
+
Этот интеграл будет содержать бесконечные калибровочные объемы, связанные с инвариантностью действия (14) относительно преобразований (15)—(17). Для устранения этих бесконечностей удобно использовать многоступенчатую процедуру Фаддеева - Попова (см., напр.: [8, 9]) в форме, адаптированной к Абелевым теориям с линейно зависимыми генераторами [9, 10]. Для полей БМУ, БИ„Х (в компонентах) эта процедура проделана в [1, 6]. Здесь мы проведем квантование единым образом.
Обозначим
(р) (р) (р-1) (р-1) Б = а, С = в ,
(19)
формы же а, в более низких порядков появляются на следующих этапах квантования. Выберем для всех этапов функцию, фиксирующую калибровку, таким образом:
(р-1) (р) (р-1) (р-2)
К = З а + т( в + й в ), (20)
причем последнее слагаемое отсутствует при р - 2 < 0, такая ситуация возникает на низшем этапе квантования, т. е.
(0) (1) (0)
К = 8 а+ т(в+ 0).
(21)
С помощью функции (20) строим детерминант Фаддеева - Попова
(р-1) (р-2) _ (р-1) а В в 8[ К’ ].
преобразованная функция (25) оказывается, в свою очередь, инвариантной относительно преобразований вида (24) более низкого порядка с параметром
(р-2) а :
(р-1) (р-1) (р-1) (р-2) а ^ а' = а - й а ,
(р-2) (р-2) (р-2) (р-3)
в в = в + т а . (27)
Для исключения бесконечных калибровочных объемов, связанных с инвариантностью подынтегрального выражения (22) относительно преобразований (27), строится фиксирующая калибровку
(р-2)
функция К той же структуры (20), но более низкого порядка, по ней строится следующий детерминант Фаддеева - Попова вида (22) и т. д., до до-
(0)
стижения К (21).
Пройдем этот путь в обратном направлении. Начнем с вычисления детерминанта Фаддеева-По-пова низшего порядка Д0 по формулам (21)—(25).
Преобразования, вызвавшие появление этой функции, имеют вид
(1) (1) (1) (0) (0) (0) (0) (0) а^а' = а-йа,в ^ в' = в+ та, (28)
(0) (0) а К' (21), (23) за счет того, что йЗ а = 0, выглядит
(22)
(0) (0)
(0)
Здесь З[...] - дельта-функция, волна над значком поставлена для отличия от ко-производной (5),
(р-1) (р-1) (р) (р-1)
к' - к (а, в’) (23)
- это калибровочная функция от преобразованных
(р) (р-1)
переменных а', в', а сами преобразования имеют вид
(р) (р) (р) (р-1) (р-1) (р-1) (р-1) (р-1) а ^ а' = а-й а , в ^ в' = в + т а . (24)
(р-1)
Преобразования (24) с параметром а имеют структуру преобразований (15), а значит, действие
(14) и подынтегральное выражение (18) инвариантны относительно преобразований (24) при учете (19). Преобразованная калибровочная функция (23) выглядит так (см. (21) и (24)):
(р-1) (р-1) (р-1)
К' = К + (-Зй + т2) а . (25)
Включим, следуя методу Фаддеева - Попова, в функциональный интеграл (18) «единицу», образованную из (22),
(р-1) (р-2) _ (р-1)
1 = Д рЛВ а В в З[ К ] (26)
для устранения бесконечных калибровочных объемов, связанных с преобразованими (24). Однако
просто: К' = К + (»+т 2)а. Тогда, по (22),
А 0 = (Ц> +т2).
(29)
(0) (0)
Теперь «единицу» 1 = Д 01 В а З[К' ] подставляем в выражение вида (22) для определения Д1:
-1 , (1) (0) _ (1) (0) _ (0)
Д-1 = Д 0| ВаВ вЗ[К'] Ва З[ К' ]. (30)
Произведем стандартным образом в (30) обратные к (28) преобразования. При этом инвариантная
(1)
относительно них функция К не изменится, а
(0) (0) (0)
К' ^ К , и от параметра а подынтегральное вы-
(0)
ражение больше не зависит: I В а представляет
собой мультипликативную расходимость, которую
можно устранить, переопределив Д1 следующим образом (учтены (21) и (25)):
-1 (1) (0) (1) (0) (2) (1) (0)
Д1 = Д 01 ВаВ в З[З а+ т в]З[З а+ т(в+ й в)].
С помощью первой дельта-функции снимаем
(0) (1) интегрирование по В в и, интегрируя по В а ,
получаем для второго определителя Фаддеева - Попова
Ді = Д-1 •Det <Д+m2) =
= Det“'(Ц, +m2)Det ('+m2). (31)
Образуя «единицу»
(l) (О) (l)
1 = Д'| DaD S[K ' ], (Зг)
можем подставлять ее либо в следующий определитель Фаддеева - Попова Д 2 вида (гг) (в случае p = 3), либо, в случае p = г, уже в функциональный интеграл (1S) для исключения расходимостей, связанных с калибровочными преобразованиями типа
(15) (в форме @4) при p = г). Рассмотрим сначала этот случай. Итак, из (1S), (19), (Зг)
Теперь (З5) принимает вид
(г) (і)
I [а, ] =
(г) (і)
(г) (і) (і) (0) _ (і)
(г) (г) (г) (і) (і) (і) (і) (і)
а ^ а = а- d a, ^ = + ma,
(г) (і)
(г) (і) (0) (і)
(*) (і) - (*) (і) (О) (і) i (і) (і)
Да] Da D DDxexp(-—(xx))x
„ (г) (1) (0) (1) (г) (і)
xS[S а+ m(+ d) - x]exp(iS[a,]).
(г) (і)
(l) (О)
I[а,] = ^Det ^ +m )I[,], где введено обозначение
(l) (О) (l) (О) i (l) (l)
I[, ] = |D Dexp{-^[-(d,d)
(l) (О) (l) (О)
+m (+ d,+ d)]}.
(38)
(39)
:Д'|Da Dexp(iS[а,])DaDS[K']. (33)
Произведем в (ЗЗ) обратные преобразования к
(34)
(1) (1)
при этом К' ^ К , а остальное выражение не ме-
(1)
няется. Зависимость от а в подынтегральном выражении исчезает, и можно избавиться от соответствующего бесконечного объема, переопределив
(2) (1)
I [а, в]:
Оставшееся в (38) подынтегральное выражение инвариантно относительно преобразований вида
(16) вспомогательных полей Штюкельберга, которые мы еще не учли, и в показателе экспоненты, на самом деле, стоит действие массивного векторного
(1)
поля, 1-формы в, в которое добавлены поля Штю-
(0)
кельберга в для восстановления калибровочной инвариантности. Чтобы вписать вычисление этого интеграла в общую схему, переобозначим, сравнивая с (14),
(1) (1) (0) (0)
в = у, т в = 0 . (40)
Тогда калибровочные преобразования подынтегрального выражения (39) будут иметь ту же форму, что и (24):
(l) (l) (l) (О) (О) (О) (О) (О)
Y ^y' = Y-d Y, в ^ & =в+ m y .
(41)
(35)
При этом мы добавили в аргумент дельта-
(1)
функции произвольную 1-форму X с весом
І (1) (1)
ехр(-(х, х)). Проинтегрировав по этой пере-

менной, получаем в показателе экспоненты
1 (2) (2) т2 (2) 1 (1) (2) 1 (1)
І{— (й а,й а) +------(а +— йв,а +— йв) -
2 2 т т
1 (2) (1) (0) (2) (1) (0)
-----[(8а + т(в+ й в),8а+ т(в+ й в))]. (36)

Из свойств оператора Лапласа Д (6), (8) и скалярного произведения (А, Б) = (Б, А) видно, что
параметр а следует положить равным 1, тогда ин-
(2)
теграл по Б а в (35)-(36) факторизуется:
. (2) І (2) (2) -I
|Ва ехр{—[а,(П2 +т2)а]} = Веґ 2(П2+т2). (37)
Для преобразований (40) строим функцию фик-
(°)
сации калибровки нулевого порядка У, а соответ-
- (0) _ (0)
ствующую «единицу» 1 = Д 01 В у З[У' ] подставляем в выражение (39), после чего совершаем обратное к (41) преобразование, исключаем бесконеч-
(0)
ный объем I В у и переопределяем интеграл (39),
добавляя в аргумент дельта-функции произволь-
(0) / (0) (0)
ную 0-форму х с весом ехр(--------(х,х)). Проин-

(0)
тегрировав по х, видим, что коэффициент а должен быть равен в данном случае (-1). Переменные
(1) (0)
разделяются, и мы получаем для 1[в, в]:
(1) (0) -I -1
I[в,в] = Д0В^ 2(Ц +т2)Ве1 2(Ц,+т2). (42)
Учитывая (29), получаем попутно производящий функционал и эффективное действие массивной 1-формы (векторного поля):
-1 1
2 (1) = ехр(/Г(1)) = Вв1 ^(1+т2)Вв1 2(Ц, +т2), (43)
Г(1) =— [Tr ln(Dj +m2) _ Tr ln(D0 +m2)]. (44)
в 2
Возвращаясь к (38), с учетом (31) и (42) получим производящий функционал
Z(2) ЄХР0Г(2) )
в в
_ 1 1 _ 1
= Det 2(D2+m2)Det 2(Ц+m2)Det 2(D0 +m2) (45)
и эффективное действие для массивной 2-формы
Г(2) = 1~ [Tr ln(^2 +m2) _ в2
_Trln(D1 +m2) + Trln(d0 +m2)]. (46)
Переходим к случаю 3-формы. «Единица» (32) должна быть подставлена в определитель Фаддеева - Попова А 2 :
, , (2) (1) (1) (0) _ (2) _ (1)
А-1 = Aj DaD DaD [K']S[K']. (47)
Произведем в (47) обратные к (34) преобразова-
(1) (1)
ния, при этом K' ^ K , а остальное выражение не
(1)
меняется. Зависимость от а в подынтегральном выражении исчезает, и можно избавиться от соответствующего бесконечного объема. Далее снима-
(1)
ем интегрирование по с помощью первой дельта-функции, при этом исчезает и зависимость от (0) (0) . Бесконечный объем I D удаляем, переопре-
(2)
деляя детерминант. Интеграл по Da факторизуется, в итоге имеем
А 2 = А_1 • Det ( +m2) =
= Det+1 (П0 +m2) Det-1 (1 +m2) Det+1 (+m2). (48)
Наконец, подставляем «единицу»
(2) (1) (2)
1 = A J D aD S[ K' ]
в функциональный интеграл (18), (19) при p = 3 и действуем в полной аналогии со случаем p = 2.
(3)
Вычисляем интеграл по D a и в результате получаем, как и в случае p = 2, выражение через интеграл от форм более низкого порядка (для сравнения - формула (38)), который уже вычислен, см. (45):
(3) (21)
(2) (1)
I[В, С] = Д2• Вег 2(Ц +т )I[В,С]. (49)
Используя выражение (45) вместе с (48), можем сразу записать ответ:
1 1
Z(3) = ехр(—Г(3)) = Det 2(П3 + m2)Det 2(П2 + в в
i i +m2)Det 2(П1 +m2)Det 2(П0 +m2), (50)
Г (3) = — [Tr ln(d3 +m2) - Tr ln(d2 + m2) + в 2
+Tr ln(D1+m2) - Tr ln(D0 + m2)]. (51)
Конкретизация выражений (44), (46), (51) осуществляется с помощью обобщенных дзета-функций, сопоставляемых операторам (— IZ^+m2) [6], с переходом к евклидовской формулировке. Дзета-функциональная техника регуляризации используется, например, в [11].
4. Заключение
Представлено единообразное вычисление эффективного действия массивных 1-, 2-, 3-форм в произвольном четырехмерном пространстве-времени в терминах Даламбертианов, действующих на р-формы. Калибровочные преобразования и функции, фиксирующие калибровку в многоступенчатой процедуре квантования Фаддеева - Попова, записаны в общем виде для всех этапов вычислений.
Данный подход упрощает использование массивных моделей антисимметричных тензорных полей в исследовании различных аспектов, к примеру, в доказательстве квантовой эквивалентности, а также при использовании в суперсимметричных теориях. Особая роль (анти)симметричных тензорных полей на специальных многообразиях подчеркивалась, к примеру, в работе [12].
Квантование массивных АТП-моделей (массивных р-форм) в произвольном четырехмерном искривленном пространстве-времени является более сложной задачей, чем квантование безмассовых АТП-моделей, поскольку калибровочная инвариантность в массивной теории восстанавливается с помощью многоступенчатой процедуры Штюкель-берга, и существует пара взаимосвязанных полей на каждом этапе квантования. Однако можно увидеть преемственность выражений для производящих функционалов: функциональный интеграл от форм более высокого порядка выражается одинаковым образом через предшествующий функционал
(Р) (Р-1) -1 (Р-1) (Р-2)
I[а, в ] = Др-Det 2(Пр +m2)I[ в , в ], (52)
здесь Др-1 - детерминант Фаддеева - Попова соответствующего порядка, Пр - Даламбертиан, действующий на р-формы.
Возможно обобщение на случай d-мерного пространства.
Благодарность. Автор признателен профессо- Президентским грантом поддержки ведущих на-
ру И. Л. Бухбиндеру за формулировку направления учных школ РФ, проект № 3558.2010.2. работы. Статья была частично спонсирована
Список литературы
I. Kirillova E . N . Gravitation and Cosmology. 2009 . Vol . 15 . No . 4 . P. 327 .
2 . Kobayashi M . Prog . Theor. Phys . 1992 . Vol . 88 . P. 1231.
3 . Deguchi S . , Kokubo Y. Mod . Phys . Lett . 2002 . Vol .A 17 . P.503.
4 . Bastianelli F. et al . High Energy Phys . 2005. Vol . 0504. P. 010 .
5 . Buchbinder I . L . et al . Phys. Lett. 2007 . Vol . B 649 . P. 454.
6 . Buchbinder I . L . et al . Phys. Rev. 2008. Vol . D 78 . P. 084024.
7 . Folacci A. J . Math . Phys . 1991. Vol . 32 . P. 2813 .
8 . Schwarz A . S . Lett . Math . Phys . 1978. Vol . 2 . P. 247 .
9 . Buchbinder I . L . , Kuzenko S . M . Nucl . Phys. 1988. Vol . B 308. P. 162 .
10 . Buchbinder I . L ., Kuzenko S . M . Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity // IOP Publishing Ltd . Bristol and Philadelphia, 1995,
1998.
II. Garattini R . TSPU Vestnik . 2004. Issue 7(44) . P. 72 .
12 . Geyer B . , Lavrov P. M . TSPU Vestnik. 2004. Issue 7(44) . P. 62 .
Кириллова Е. Н., кандидат физико-математических наук, доцент.
Томский государственный педагогический университет.
Ул. Киевская, 60, г. Томск, Томская область, Россия, 634061.
E-mail: kirillovaen@tspu.edu.ru
Материал поступил в редакцию 25.05.2010
E. N. Kirillova
Quantization oF MAssivE 2- AND 3-FoRMs IN CuRvED spACE-TIME
We consider the models of massive second and third ranks antisymmetric tensor fields (massive 2- and 3-forms) in arbitrary four-dimensional curved space-time. We perform quantization of these models in р-forms formalism, and evaluation of the effective actions. The gauge invariance of massive theory is restored with help of the multi-step Stuckelberg procedure. The result is noted in terms of d'Alembertians acting on р-forms.
Key words: quantum fields in curved space-time, antisymmetric tensor fields, gauge field theories, effective action.
Tomsk State Pedagogical University.
Ul. ffiyevskaya, 60, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634061.
E-mail: kirillovaen@tspu.edu.ru